Rationale Zahlen

Festkommaformat

Ein Rechenwerk mit n-Bitstellen kann unterteilt werden in einen Teil für Vorkommastellen und einen anderen Teil für Nachkommastellen.

Beispiel: 8-Bit Rechenwerk
Vorkommastellen: 3
Nachkommastellen: 4

Vorteil: Jedes Rechenwerk, das mit ganzen Zahlen Rechenoperationen durchführen kann, kann auch für Festkommaoperationen verwendet werden. Nachteil: Eingeschränkter Wertebereich → kleine Zahlen gehen durch Runden verloren.
→ große Zahlen können nicht mehr dargestellt werden.

⇒ Einsatz: Digitale Signalprozessoren.

Äquidistanz

Dies ist der kleinstmögliche Abstand zwischen zwei benachbarten Zahlen. (Bei Festkommazahlen Konstant) signed: $2^{-(n-1)}$ unsigned: $2^{-n}$

Für $n$ = 8, signed: $2^{-7}$

Gleitkommazahlen (Nach IEEE 754)

IEEE 754 legt zwei Formate fest: → single precision, 32-Bit (einfache Genauigkeit)
→ double precision, 64-Bit (doppelte Genauigkeit) in C/Java entspricht dies den Datentypen float und double.

Vorgehen zur Bestimmung des IEEE - Formats (32 Bit)

1. Berechnung der Binären Vor- und Nachkommastellen z. B. $15,625_{(10)}=1111,101_{(2)}$

2. Verschieben des Kommas hinter die werthöchste Stelle 1,111101∗2${}^3$ ⇒ Exponent E=3

3. Mantisse bilden: Das werthöchste Bit wird “versteckt” d.h. implizit dargestellt und die verbleibende Ziffernfolge mit Nullen aufgefüllt bis 23 Bit (Länge der Mantisse)! 111 1101 ⇒ 111 1010 0000 0000 0000 0000

4. Charakteristik bilden: C=E+V oder Charakteristik = Exponent + Verschiebezahl
   V=127${}_{(10)}$ bei 8-Bit Charakteristik
   V=1023${}_{(10)}$​ bei 11-Bit Charakteristik
   C=3+127=130${}_{(10)}$=1000 0010${}_{(2)}$

5. Vorzeichenbit der IEEE Zahl: 0 = + 1 = −

6. Kombinieren zur IEEE Zahl:

Beispiel