Punktprobe

Probe auf Geraden

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Liegt P(1|4|3) auf der Geraden durch A(-1|6|2) und B(5|0|5)?

1. Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ bestimmen

$$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}5+1\\ 0-6\\ 5-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$$

2. Geradengleichung aufstellen (A als Aufpunkt)

$$g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 2\end{array}\right)+\gamma \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$$

3. P einsetzen

$$P:\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 2\end{array}\right)+\gamma \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$$

4. Gleichungssystem lösen |) $1=-1+\gamma \ast 6$ ||) $4=6+\gamma \ast (-6)$ |||) $3=2+\gamma \ast 3$

5. Nach $\gamma$ auflösen |) $\gamma =\frac{1}{3}$ ||) $\gamma =\frac{1}{3}$ |||) $\gamma =\frac{1}{3}$

Sind alle gleich, liegt P darauf, wenn nicht alle gleich sind, liegt er nicht darauf

Probe auf Ebenen

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1. Ebenengleichung aufstellen
2. P einsetzen
3. Nach den unbekannten auflösen
   1. Man kann z.b. von || und ||| die Seiten vom = jeweils addieren, wenn sich eine Unbekannte rauskürzt ist sie = 0.
   2. Dann in | einsetzen und schauen ob die Gleichung wahr oder falsch ist