Ebenengleichung in Parameterform

$$E:\vec{x}=\vec{a}+r\ast \vec{u}+s\ast \vec{v}$$ $$E:\vec{x}=\overrightarrow{Aufpunkt}+LangeGerade1\ast \overrightarrow{Gerade1}+LangeGerade2\ast \overrightarrow{Gerade2}$$

Aufstellen aus 3 Punkten

A(3|0|0) B(0|3|0) C(0|0|3) $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$

$$E:\vec{x}=\vec{A}+r\ast \overrightarrow{AB}+s\ast \overrightarrow{AC}$$ $$E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)+s\ast \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$$

Aufstellen aus einer Geraden und einem Punkt der nicht auf der Geraden liegt

Ebenengleichung: Als Aufpunkt wählt man z.B. den Aufpunkt $A$ der Geraden $g$, als Richtungsvektoren z.B. den Richtungsvektoren $\vec{u}$ der Geraden und den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AP}$

Gegeben: P(0|0|3) $g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ Ebenengleichung:

$$E:\vec{x}=\vec{A}+r\ast \vec{u}+s\ast \overrightarrow{AP}$$ $$E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\ast \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$$

Aufstellen aus 2 echt parallelen Geraden

Ebenengleichung: Als Aufpunkt wählt man z.B. den Aufpunkt $A$ der Geraden $g$, als Richtungsvektoren z.B. den Richtungsvektoren $\vec{u}$ der Geraden und den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$, der die Aufpunkte der Geraden $g$ und $h$ miteinander verbindet.

Gegeben: $g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ $h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+s\ast \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ Ebenengleichung:

$$E:\vec{x}=\vec{A}+r\ast \vec{u}+s\ast \overrightarrow{AB}$$ $$E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+s\ast \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$$

Aufstellen aus 2 sich schneidenden Geraden

Ebenengleichung: Als Aufpunkt wählt man z.B. den Aufpunkt $A$ der Geraden $g$, als Richtungsvektoren am besten gleich die Geraden

Gegeben: $g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ $h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ -1\end{array}\right)+s\ast \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ Ebenengleichung:

$$E:\vec{x}=\vec{a}+r\ast \vec{u}+s\ast \vec{v}$$ $$E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)+s\ast \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$$

Prüfen ob 2 Geraden eine Ebene bilden

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2 Geraden bilden eine Ebene wenn sie parallel sind oder sich schneiden

Gegeben: $g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ $h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ -1\end{array}\right)+s\ast \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$