Ebenengleichung in Normalenform

Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der orthogonal (senkrecht) auf einer Geraden oder Ebene steht

Ein Punkt $X$ liegt dann auf einer Ebene wenn $\overrightarrow{AX}\perp \vec{n}$ wobei $A$ ein Punkt auf der Ebene ist Bedeutet $x$ bleibt die unbekannte der Gleichung beim Aufstellen

$$\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)\circ \left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\right)=0$$

$n_1\ast (x_1-a_1)+n_2\ast (x_2-a_2)n_3\ast (x_3-a_3)=0$ $n_1{x}_1-n_1{a}_1+n_2{x}_2-n_2{a}_2+n_3{x}_3-n_3{a}_3$ $E:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+d=0$

Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben

Vektordarstellung: $\vec{n}(\vec{x}-\vec{A})=0$ Koordinatendarstellung: $n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+d=0$

Parameterform ⇒ Normalenform

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Parameterform: $E:\vec{x}=\vec{a}+r\vec{u}+s\vec{v}$ Das Vektorprodukt $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$ liefert einen Normalenvektor Dann hier rein einsetzen:

$$\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)\circ \left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\right)=0$$

Das ist die Normalenform.

Wenn man das hier noch macht: $n_1\ast (x_1-a_1)+n_2\ast (x_2-a_2)n_3\ast (x_3-a_3)=0$ $n_1{x}_1-n_1{a}_1+n_2{x}_2-n_2{a}_2+n_3{x}_3-n_3{a}_3$ $E:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+d=0$ Hat man die Koordinatendarstellung der Normalenform