Abstandsbestimmungen

1. Fall: Punkt - Punkt

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Der Abstand ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors der Punkte

Beispiel

$P(6|3),Q(1|2)$ $\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\end{array}\right)$

$$\sqrt{(-5{)}^2+(-1{)}^2}=5,1LE$$

2. Fall: Punkt - Gerade

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Der Abstand ist gleich der Länge des Lotes von Gerade und Punkt Vorgehen

1. Aufstellen einer Gleichung einer Ebene die den Punkt enthält und senkrecht zur Geraden ist
   • Ortsvektor der Gerade wird zum Normalenvektor der Ebene (Dadurch senkrecht)
   • Der Punkt wird Aufpunkt der Ebene
2. Bestimmen des Schnittpunktes der Ebene und der Geraden
   • Gerade in die Koordinatenform der Ebene einsetzen
   • Die obere Zeile der Geradengleichung (also $a_1+r{u}_1$) wird zu $x_1$ , die zweite zu $x_2$ usw.
3. Berechnen des Abstandes zwischen dem Schnittpunkt und dem Punkt

Beispiel

$P(6|7|-3)$ $g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$

Ebene, die $P$ enthält und auf der $g$ senkrecht steht

$$E:\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)\circ \left(\vec{x}-\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -3\end{array}\right)\right)=0$$ $$E:3x_1-2x_2-24=0$$

Schnittpunkt berechnen

$$g\cap E:3\ast (2+3r)-2\ast (4-2r)-24=0$$

$r=2$

$$F=(8|1|0)$$

Abstand berechnen

$\overrightarrow{PF}=\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

$$d(P;g)=|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{2^2+6^2+3^2}=7LE$$

3 Fall: Punkt - Ebene

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Es muss die Hesse Normalenform vorliegen

Hesse Normalenform

Um die Hesse Normalenform aufzustellen, dividiert man den Normalenvektor $\vec{n}$ durch den Betrag des Normalenvektors $|\vec{n}|$

$$\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+d}{\sqrt{(n_1{)}^2+(n_2{)}^2+(n_3{)}^2}}=0$$

Den Abstand eines Punktes $P$ zur Ebene erhält man durch einsetzen in die Hesse Normalform ($P(p_1|p_2|p_3)$ als $x_1,x_2,x_3$) ### Beispiel $P(2|0|2)$ $E: \left(\begin{array}{c} 2\\ -1\\ 2\\ \end{array}\right) \circ \left(\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3\\ 5\\ -1\\ \end{array}\right)\right)=0$ #### Normalenvektor von $E$

E: 3x_1-x_2+2x_3+1=0

#### HNF von $E$

\frac{2x_1-x_2+2x_3+1}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=0, \frac{2x_1-x_2+2x_3+1}{3}=0

d(A;E) = | \frac{22-0+22+1}{3}| = 3LE

# Weitere darauf zurückführbare Fälle --- ## Gerade - Gerade Man nimmt einen beliebigen Punkt auf der einen Gerade und berechnet wie beim 2. Fall den Abstand zur anderen Gerade ## Zwei parallele Ebenen Man nimmt einen beliebigen Punkt auf der einen Ebene und berechnet wie beim 3. Fall den Abstand zur anderen Ebene ## Ebene - parallele Gerade Man nimmt einen beliebigen Punkt auf der Gerade und berechnet wie beim 3. Fall den Abstand zur Ebene