Kurvendiskussion

Übersicht Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Ableiten

Regeln

Summenregel

$f(x)=u(x)+v(x)->f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)$

Konstantenregel

$f(x)=c\ast u(x)->f^{\prime }(x)=c\ast u^{\prime }(x)$

Produktregel

𝑓(𝑥)=𝑢(𝑥)⋅𝑣(𝑥) → 𝑓′(𝑥)=𝑢′(𝑥)⋅𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)⋅𝑣′(𝑥)

Differenzregel

$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}->f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)\ast v(x)-u(x)\ast v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}$

Kettenregel

$f(x)=u(v(x))->f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))\ast v^{\prime }(x)$

Ableitungen

e Funktion

$f(x)=e^u(x)->f^{\prime }(x)=e^u(x)\ast u^{\prime }(x)$ Beispiel: $f(x)=e^{4x^3}->f^{\prime }(x)=e^{4x^3}\ast 12x^2$

ln Funktion

$f(x)=ln(x)->f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

Potenzfunktion

$f(x)=x^n->f^{\prime }(x)=n\ast x^{n-1}$ Beispiel: $f(x)=x^3->f^{\prime }(x)=3x^2$

Merke: Wenn $f(x)=x^1=x$ dann ist $f^{\prime }(x)=1$

Konstante Funktion

$f(x)=c->f^{\prime }(x)=0$ Beispiel: $f(x)=2->f^{\prime }(x)=0$

Wurzel

$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}->f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

Diskriminante

Mit der Diskriminante kann bestimmt werden wie viele Nullstellen die Mitternachtsformel/Funktion hat

$b^2-4ac$ $>0$ : 2 Lösungen $=0$ : 1 Lösung $<0$ : keine Lösung

Limes

Potenz von Zähler > Nenner → +- Unendlich Potenz von Nenner > Zähler → 0 Potenzen gleich → Faktoren betrachten

Monotonie

1. Anhand der Hoch und Tiefpunkte Intervalle bilden
2. Testwert innerhalb des Intervall in die zweite Ableitung $f^{\prime }(x)$ einsetzen $f^{\prime }(x)<0$ : Fallend $f^{\prime }(x)>0$ : Steigend

Logarithmus

$lo{g}_b(a)=z<>b^z=a$

Extremstelle

Da wo die erste Ableitung $f^{\prime }(x)=0$ ist, ist der höchste oder tiefste Wert. Ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist kann mit der zweiten Ableitung $f^{\prime \prime }(x)$ bestimmt werden: $f^{\prime \prime }(x)>0$ : Tiefpunkt $f^{\prime \prime }(x)<0$ : Hochpunkt

Integralrechnung

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
F ist hierbei die Stammfunktion (aufleiten)

Krümmungsverhalten

$f^{\prime \prime }(x)>0$ : Linkskrümmung $f^{\prime \prime }(x)<0$ : Rechtskrümmung $f^{\prime \prime }(x)=0$ : und $f^{\prime \prime }(x)$ hat hier VZ-Wechsel → Wendepunkt

Symmetrie

Punktsymmetrisch: $f(x)=-f(-x)$ Liegt vor wenn alle Exponenten ungerade sind

Achsensymmetrisch: $f(x)=f(-x)$ Liegt vor wenn alle Exponenten gerade sind

Liegt keins der beiden vor, hat die Funktion keine Symmetrie

Wendepunkte

An den Wendepunkten ändert sich die Krümmung !!Nicht mit Extrempunkt verwechseln!!

$f^{\prime \prime }(x)=0$ setzen ergibt die Wendepunkte

Winkel

Es wird der Winkel einer Gerade $f(x)=mx+t$ berechnet $tan(\alpha )=m$ $f^{\prime }(x)=m$ $ta{n}^{-1}(m)=\alpha$ Das ist der Winkel der Gerade zur x-Achse (Im Taschenrechnet $ta{n}^{-1}$ verwenden und im Display muss $d$ für Degree stehen)